Ví dụ 1: Tìm GTR, VTR của ma trận A: [ − 1 3 − 2 4 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}-1&3\\-2&4\\\end{array}}\right]}

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

P ( λ ) = d e t ( A − λ I ) = 0 ⇔ | − 1 − λ 3 − 2 4 − λ | = 0 ⇔ λ 2 − 3 λ + 2 = 0 {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I)=0\Leftrightarrow \left|{\begin{array}{rr}-1-{\lambda }&3\\-2&4-{\lambda }\\\end{array}}\right|=0\Leftrightarrow {\lambda }^{2}-3{\lambda }+2=0}

Giải phương trình đặc trưng, ta có: λ 1 = 1 ; λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1;{\lambda }_{2}=2}

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1}

Ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1} ta có VTR u 1 = ( x ; y ) {\displaystyle u_{1}=(x;y)} là nghiệm của hệ phương trình:

( A − λ 1 ∗ I ) u 1 = 0 ⇔ { − 2 x + 3 y = 0 − 2 x + 3 y = 0 ⇒ 2 x = 3 y {\displaystyle (A-{\lambda }_{1}*I)u_{1}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-2x+3y=0\\-2x+3y=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow 2x=3y}

Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 {\displaystyle {\lambda }_{1}=1} có dạng u 1 = ( 3 a ; 2 a ) = ( 3 ; 2 ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(3a;2a)=(3;2)a;a\neq 0}

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2}

Ứng với giá trị riêng λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2} ta có VTR u 2 = ( x ; y ) {\displaystyle u_{2}=(x;y)} là nghiệm của hệ phương trình:

( A − λ 2 ∗ I ) u 2 = 0 ⇔ { − 3 x + 3 y = 0 − 2 x + 2 y = 0 ⇒ x = y {\displaystyle (A-{\lambda }_{2}*I)u_{2}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-3x+3y=0\\-2x+2y=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow x=y}

Vậy VTR ứng với GTR λ 2 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{2}=2} có dạng u 2 = ( b ; b ) = ( 1 ; 1 ) b ; b ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(b;b)=(1;1)b;b\neq 0}

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A: [ 1 2 − 2 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&2\\-2&1\\\end{array}}\right]} , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

d e t ( A − λ I ) = 0 ⇔ | 1 − λ 2 2 1 − λ | = 0 ⇔ ( 1 − λ ) 2 + 4 = 0 ( 1 ) {\displaystyle det(A-{\lambda }I)=0\Leftrightarrow \left|{\begin{array}{rr}1-{\lambda }&2\\2&1-{\lambda }\\\end{array}}\right|=0\Leftrightarrow (1-{\lambda })^{2}+4=0(1)}

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có: λ 1 = 1 + 2 i ; λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i;{\lambda }_{2}=1-2i}

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i}

Ứng với giá trị riêng λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i} ta có VTR u 1 = ( x ; y ) ; x , y ∈ C {\displaystyle u_{1}=(x;y);x,y\in C} là nghiệm của hệ phương trình:

( A − ( 1 + 2 i ) I ) u 1 = 0 ⇔ { − 2 i x + 2 y = 0 − 2 x − 2 i y = 0 ⇒ y = i x {\displaystyle (A-(1+2i)I)u_{1}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}-2ix+2y=0\\-2x-2iy=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow y=ix}

Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 + 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1+2i} có dạng u 1 = ( a ; i a ) = ( 1 ; i ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(a;ia)=(1;i)a;a\neq 0}

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{2}=1-2i}

Ứng với giá trị riêng λ 2 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{2}=1-2i} ta có VTR u 2 = ( x ; y ) ; x , y ∈ C {\displaystyle u_{2}=(x;y);x,y\in C} là nghiệm của hệ phương trình:

( A − ( 1 − 2 i ) I ) u 2 = 0 ⇔ { 2 i x + 2 y = 0 − 2 x + 2 i y = 0 ⇒ x = i y {\displaystyle (A-(1-2i)I)u_{2}=0\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}2ix+2y=0\\-2x+2iy=0\\\end{array}}\right.\Rightarrow x=iy}

Vậy VTR ứng với GTR λ 1 = 1 − 2 i {\displaystyle {\lambda }_{1}=1-2i} có dạng u 2 = ( i a ; a ) = ( i ; 1 ) a ; a ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(ia;a)=(i;1)a;a\neq 0}

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận: A = [ 1 − 1 − 1 1 3 1 − 3 1 − 1 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\1&3&1\\-3&1&-1\\\end{array}}\right]}

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}

c. Tính d e t ( A − 2008 I 3 ) {\displaystyle det(A-2008I_{3})}

d. Tìm GTR, VTR của A {\displaystyle A} .

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận A {\displaystyle A} :

P ( λ ) = λ 3 − 3 λ 2 − 4 λ + 12 {\displaystyle P({\lambda })={\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}-4{\lambda }+12}

b. Theo tính chất 4 {\displaystyle 4} ta có: P ( A ) = A 3 − 3 A 2 − 4 A + 12 I 3 = 0 {\displaystyle P(A)=A^{3}-3A^{2}-4A+12I_{3}=0} . Do đó:

− A 3 + 3 A 2 + 4 A = 12 I 3 ⇒ A ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) = ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) . A = 12 I 3 {\displaystyle -A^{3}+3A^{2}+4A=12I_{3}\Rightarrow A(-A^{2}+3A+4I_{3})=(-A^{2}+3A+4I_{3}).A=12I_{3}}

Đặt B = 1 12 ( − A 2 + 3 A + 4 I 3 ) {\displaystyle B={\dfrac {1}{12}}(-A^{2}+3A+4I_{3})} .

Ta có: A . B = B . A = I 3 {\displaystyle A.B=B.A=I_{3}} .

Do đó: A {\displaystyle A} khả nghịch và A − 1 = − A 2 + 3 A + 4 I 3 {\displaystyle A^{-1}=-A^{2}+3A+4I_{3}}

c. Ta có P ( λ ) = d e t ( A − λ I 3 ) {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I_{3})} nên:

d e t ( A − 2008 I 3 ) = P ( 2008 ) = 2006.2010.2005 {\displaystyle det(A-2008I_{3})=P(2008)=2006.2010.2005}

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR: λ 1 = − 2 ; λ 2 = 2 ; λ 3 = 3 {\displaystyle {\lambda }_{1}=-2;{\lambda }_{2}=2;{\lambda }_{3}=3}

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = − 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=-2} có dạng: u 1 = ( 1 ; − 1 ; 4 ) a , a ≠ 0 {\displaystyle u_{1}=(1;-1;4)a,a\neq 0}

VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}=2} có dạng: u 2 = ( − 1 ; 0 ; 1 ) b , b ≠ 0 {\displaystyle u_{2}=(-1;0;1)b,b\neq 0}

VTR ứng với giá trị riêng λ 1 = 3 {\displaystyle {\lambda }_{1}=3} có dạng: u 3 = ( − 1 ; 1 ; 1 ) c , c ≠ 0 {\displaystyle u_{3}=(-1;1;1)c,c\neq 0}